Hàm số liên tục còn được hiểu là xét tính liên tục của hàm số, đây là một một chủ để quan trọng thuộc toán lớp 11 bậc trung học phổ thông. Là kiến thức căn bản để bạn học tốt chủ đề hàm số. Bài viết này sẽ tóm lược những lý thuyết trọng tâm cần nhớ đồng thời phân dạng bài tập chi tiết giúp bạn rèn luyện kĩ năng giải bài tập hàm số liên tục.
1. Lý thuyết hàm số liên tục
1.1 Hàm số liên tục tại một điểm
Hàm số liên tục là gì?
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x ∈ (a; b) nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$
Nếu tại điểm x hàm số y = f ( x ) không liên tục, thì được gọi là gián đoạn tại x và điểm x được gọi là điểm gián đoạn của hàm số y = f ( x ) .
Nhận xét. Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x nếu ba điều kiện kèm theo sau được đồng thời thỏa mãn nhu cầu :
- f(x) xác định tại x.
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$ tồn tại.
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$ = f(x)
Hàm số y = f ( x ) gián đoạn tại điểm x nếu có tối thiểu 1 trong 3 điều kiện kèm theo trên không thỏa mãn nhu cầu. Nếu sử dụng số lượng giới hạn một bên thì :
Đặc trưng khác của tính liên tục tại một điểm
Cho hàm số y = ( x ) xác lập trên ( a ; b ). Giả sử x và x ( x ≠ x ) là hai thành phần của ( a ; b )
Hiệu x − x, ký hiệu : ∆ x, được gọi là số gia của đối số tại điểm x. Ta có : ∆ x = x − x ⇔ x = x + ∆ x .
Hiệu y − y, ký hiệu : ∆ y, được gọi là số gia tương ứng của hàm số tại điểm x. Ta có : ∆ y = y − y = f ( x ) − f ( x ) = f ( x + ∆ x ) − f ( x ) .
Đặc trưng: dùng khái niệm số gia, ta có thể đặc trưng tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x như sau:
1.2 Hàm số liên tục trên một khoảng
- Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trong khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mỗi điểm của khoảng đó.
- Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó:
1.3 Các định lý về hàm số liên tục
Định lí 2. Tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu số khác 0) của các hàm số liên tục tại một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó. Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x. Khi đó:
- Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) − g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại điểm x
- Hàm số $y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ liên tục tại x nếu g(x) = 0
Định lí 3. Các hàm đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm lượng giác là liên tục trên tập xác định của nó.
2. Phân dạng hàm số liên tục
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Để xét tính liên tục hoặc xác lập giá trị của tham số để hàm số liên tục trên khoảng chừng I, tất cả chúng ta triển khai theo các bước sau :
- Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn.
- Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao.
- Bước 3: Kết luận
Dạng 4. Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh
Cho phương trình f ( x ) = 0, để chứng tỏ phương trình có k nghiệm trong [ a, b ], ta triển khai theo các bước sau
Dạng 5. Sử dụng tính liên tục của hàm số để xét dấu hàm số
Sử dụng hiệu quả : “ Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục và không triệt tiêu trên đoạn [ a ; b ] thì có dấu nhất định trên khoảng chừng ( a ; b ) ”
3. Bài tập hàm số liên tục
Bài tập 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 1:
Lời giải
Dựa vào dạng 1 : Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Hàm số xác lập với mọi x ∈ R
Bài tập 2. Cho hàm số
Lời giải
Dựa vào dạng 2 : Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Bài tập 3. Chứng minh hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {8 – 2{x^2}} $ liên tục trên đoạn [ -2; 2]
Lời giải
Dự vào dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng chừng
Hàm số liên tục trên đoạn [ − 2 ; 2 ]
Với x ∈ ( − 2 ; 2 ), ta có : USD \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } \ sqrt { 8 – 2 { x ^ 2 } } = \ sqrt { 8 – 2 x_0 ^ 2 } = f \ left ( { { x_0 } } \ right ) USD
Vậy, hàm số liên tục trên khoảng chừng ( − 2 ; 2 ) .
Ngoài ra, sử dụng số lượng giới hạn một bên ta chứng tỏ được :
- Hàm số f(x) liên tục phải tại điểm x = −2.
- Hàm số f(x) liên tục trái tại điểm x = 2.
- Vậy, hàm số liên tục trên đoạn [−2; 2].
Bài tập 4. Chứng minh rằng phương trình x5 + x − 1 = 0 có nghiệm trên khoảng (−1; 1)
Lời giải
Dựa vào dạng 4. Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng tỏ
Xét hàm số f ( x ) = x5 + x − 1 liên tục trên R ta có : f ( − 1 ). f ( 1 ) = − 3.1 = − 3 < 0
Vậy phương trình có tối thiểu 1 nghiện trong khoảng chừng ( − 1 ; 1 )
Bài tập 5. Xét dấu hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {x + 4} – \sqrt {1 – x} – \sqrt {1 – 2x} $
Lời giải
Dựa theo dạng 5 : Sử dụng tính liên tục của hàm số để xét dấu hàm số
Ta làm như sau: Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-4; 0,5]. Giải phương trình f(x) = 0. Ta có:
Xem thêm: Gia thế phạm tường lan thy
Bài viết về hàm số liên tục và các dạng bài tập hàm số liên tục thường gặp tạm dừng tại đây. Mọi vướng mắc sung sướng để lại phản hồi bên dưới để Toán Học giải đáp bạn rõ hơn. Chúc bạn học tập hiệu suất cao ,
Source: https://www.doom.vodka
Category: Tin tức
Leave a Reply
You must be logged in to post a comment.