Hàm số liên tục là phần lý thuyết quan trọng trong chương trình toán học của các em học sinh. Vậy định nghĩa. Trong phạm vi bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn trả lời các vấn đề trên, cùng tìm hiểu nhé.
Lý thuyết HSLT
Hàm số liên tục tại một điểm
Giả sử cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \((a;b)\) và\(x_{0}\epsilon (a;b)\)
Khi đó, hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) liên tục tại \ ( x_ { 0 } \ ) ⇔ limx → x0f ( x ) = f ( x0 ) x0 ⇔ limx → x0f ( x ) = f ( x0 )
Để xét tính liên tục của hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) tại điểm \ ( x_ { 0 } \ ) ta thực thi những bước như sau :
- Bước 1 : Tính \ ( f ( x_ { 0 } ) \ )
- Bước 2 : Tính \ ( \ lim_ { x \ rightarrow x_ { 0 } } f ( x ) \ ) ( Trong nhiều trường hợp ta cần tính \ ( \ lim_ { x \ rightarrow x_ { 0 ^ { + } } } f ( x ), \ lim_ { x \ rightarrow x_ { 0 ^ { – } } } f ( x ) \ ) ) .
- Bước 3 : So sánh \ ( \ lim_ { x \ rightarrow x_ { 0 } } f ( x ) \ ) với \ ( f ( x_ { 0 } ) \ ) .
- Bước 4 : Kết luận
- Hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) không liên tục tại \ ( x_ { 0 } \ ) được gọi là gián đoạn tại điểm đó .
Hàm số liên tục trên một khoảng chừng
Hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) liên tục trên một khoảng chừng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng chừng đó .
Đồ thị của HSLT trên một khoảng chừng là một “ đường liền ” trên khoảng chừng đó .
Hàm số liên tục trên đoạn
Hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) liên tục trên đoạn \ ( [ a ; b ] \ ) nếu nó liên tục trên khoảng chừng \ ( ( a ; b ) \ ) và
\ ( \ lim_ { x \ rightarrow a ^ { + } } f ( x ) = f ( a ), \ lim_ { x \ rightarrow b ^ { – } } f ( x ) = f ( b ) \ )
Hàm số liên tục trên \ ( \ mathbb { R } \ )
- Hàm số đa thức liên tục trên hàng loạt tập số thực \ ( \ mathbb { R } \ ) .
- Hàm số phân thức hữu tỉ ( thương của hai đa thức ), hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng chừng của tập xác lập của chúng .
Giả sử \(y=f(x)\) và \(y=g(x)\) là hai HSLT tại điểm \(x_{0}\). Khi đó:
- Các hàm số \ ( y = f ( x ) + g ( x ), y = f ( x ) – g ( x ), y = f ( x ). g ( x ) \ ) liên tục tại \ ( x_ { 0 } \ ) .
- Hàm số \ ( y = \ frac { f ( x ) } { g ( x ) } \ ) liên tục tại \ ( x_ { 0 } \ ) nếu \ ( g ( x_ { 0 } ) \ neq 0 \ ) .
Tính chất của hàm số liên tục
Định lý
Hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) liên tục trên \ ( [ a ; b ] \ ) và \ ( f ( a ) \ neq f ( b ) \ Rightarrow \ forall M \ ) nằm giữa \ ( f ( a ), f ( b ), \ exists c \ epsilon ( a ; b ) : f ( c ) = M \ )
Hệ quả
Hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) liên tục trên \ ( [ a ; b ] \ ) và \ ( f ( a ). f ( b ) < 0 \ Rightarrow \ exists c \ epsilon ( a ; b ) : f ( c ) = 0 \ ) Hệ quả này thường được vận dụng để chứng tỏ sự sống sót nghiệm của phương trình trên một khoảng chừng .
Các dạng toán và phương pháp giải
Dạng 1: HSLT tại một điểm
- \ ( f ( x ) = \ left \ { \ begin { matrix } h ( x, m ) và ( x \ neq x_ { 0 } ) \ \ g ( x, m ) và ( x = x_ { 0 } ) \ end { matrix } \ right. \ ) tại \ ( x = x_ { 0 } \ )
Phương pháp giải :
Bước 1 : Tính \ ( f ( x_ { 0 } ) \ )
Bước 2 : Tính \ ( \ lim_ { x \ rightarrow x_ { 0 } } f ( x ) \ )
Bước 3 : So sánh \ ( \ lim_ { x \ rightarrow x_ { 0 } } f ( x ) \ ) với \ ( f ( x_ { 0 } ) \ )
Bước 4 : Kết luận
- \ ( f ( x ) = \ left \ { \ begin { matrix } h ( x, m ) và ( x \ geq x_ { 0 } ) \ \ g ( x, m ) và ( x < x_ { 0 } ) \ end { matrix } \ right \ ) tại \ ( x = x_ { 0 } \ )
hoặc : \ ( f ( x ) = \ left \ { \ begin { matrix } h ( x, m ) và ( x > x_ { 0 } ) \ \ g ( x, m ) và ( x \ leq x_ { 0 } ) \ end { matrix } \ right \ ) tại \ ( x = x_ { 0 } \ )
Phương pháp giải :
Bước 1 : Tính \ ( f ( x_ { 0 } ) \ )
Bước 2 : Tính \ ( \ lim_ { x \ rightarrow x_ { 0 ^ { + } } } f ( x ), \ lim_ { x \ rightarrow x_ { 0 ^ { – } } } f ( x ) \ )
Bước 3 : So sánh \ ( \ lim_ { x \ rightarrow x_ { 0 ^ { + } } } f ( x ), \ lim_ { x \ rightarrow x_ { 0 ^ { – } } } f ( x ), f ( x_ { 0 } ) \ )
Bước 4 : Kết luận
Dạng 2: HSLT trên tập xác định của nó
-
\(f(x)=\left\{\begin{matrix} h(x,m) & ( x\neq x_{0})\\ g(x,m) & (x=x_{0}) \end{matrix}\right.\)
Xem thêm: Độ ph của đất là gì?
Phương pháp giải :
Bước 1 : Tìm tập xác lập của hàm số đã cho
Bước 2 : Khi \ ( x \ neq x_ { 0 } \ ), xác lập tính liên tục của hàm số \ ( f ( x ) \ ) tại \ ( x \ neq x_ { 0 } \ )
Bước 3 : Khi \ ( x \ = x_ { 0 } \ )
- Tính \ ( f ( x_ { 0 } ) \ )
- Tính \ ( \ lim_ { x \ rightarrow x_ { 0 } } f ( x ) \ )
- So sánh \ ( \ lim_ { x \ rightarrow x_ { 0 } } f ( x ) \ ) với \ ( f ( x_ { 0 } ) \ ) và rút ra Tóm lại tại điểm \ ( x_ { 0 } \ )
Bước 4 : Kết luận tính liên tục trên tập xác lập của chúng .
- \ ( f ( x ) = \ left \ { \ begin { matrix } h ( x, m ) và ( x \ geq x_ { 0 } ) \ \ g ( x, m ) và ( x < x_ { 0 } ) \ end { matrix } \ right \ )
hoặc : \ ( f ( x ) = \ left \ { \ begin { matrix } h ( x, m ) và ( x > x_ { 0 } ) \ \ g ( x, m ) và ( x \ leq x_ { 0 } ) \ end { matrix } \ right \ )
Phương pháp giải
Bước 1 : Tìm tập xác lập của hàm số đã cho .
Bước 2 : Khi \ ( x \ neq x_ { 0 } \ ), xác lập tính liên tục của hàm số \ ( f ( x ) \ ) trên những khoảng chừng .
Bước 3 : Khi \ ( x = x_ { 0 } \ )
- Tính \ ( f ( x_ { 0 } ) \ )
- Tính \ ( \ lim_ { x \ rightarrow x_ { 0 ^ { + } } } f ( x ), \ lim_ { x \ rightarrow x_ { 0 ^ { – } } } f ( x ) \ )
- So sánh \ ( \ lim_ { x \ rightarrow x_ { 0 ^ { + } } } f ( x ), \ lim_ { x \ rightarrow x_ { 0 ^ { – } } } f ( x ), f ( x_ { 0 } ) \ ) và rút ra Kết luận tại điểm \ ( x_ { 0 } \ )
Bước 4 : Kết luận tính liên tục trên tập xác lập .
Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm
Ví dụ : Chứng minh phương trình \ ( 3 x ^ { 3 } + 2 x – 2 = 0 \ ) có nghiệm trong khoảng chừng \ ( ( 0 ; 1 ) \ )
Hướng dẫn giải :
- Xét hàm số \ ( f ( x ) = 3 x ^ { 3 } + 2 x – 2 \ ) là hàm đa thức liên tục trên R, tức là liên tục trên khoảng chừng \ ( ( 0 ; 1 ) \ )
- Ta có : \ ( f ( 0 ). f ( 1 ) = ( – 2 ). 3 = – 6 < 0 \ )
- Suy ra : \ ( c \ epsilon ( 0 ; 1 ) \ ) ,
phương trình có nghiệm \ ( c \ epsilon ( 0 ; 1 ) \ )
Trên đây là tổng hợp kiến thức về phần lý thuyết, cách giải cũng như một số dạng bài tập điển hình. Hy vọng bài viết đã cung cấp cho các bạn kiến thức bổ ích phục vụ cho quá trình học tập của bản thân. Nếu có bất cứ câu hỏi nào phát sinh liên quan đến chủ đề hàm số liên tục, mời bạn để lại nhận xét, DINHNGHIA.VN sẽ hỗ trợ giải đáp giúp bạn.
2
/
5
(
2
bầu chọn
)
Xem thêm: Gia thế phạm tường lan thy
Please follow and like us :
Source: https://www.doom.vodka
Category: Tin tức
Leave a Reply
You must be logged in to post a comment.